Poesia Matemática

Millôr Fernandes

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

Grupos e Aplicações (Parte 1)

Neste post inaugural iremos tratar de um assunto muito importante em matemática: Grupos. Para alguns um assunto sem muitas aplicações, porém iremos ver mais adiante em postagens futuras que a Teoria dos Grupos pode se tornar uma ferramenta muita com aplicações em Física e Química, e uma importante contribuição para solucionar o cubo de Rubik, iremos ver algo sobre isso futuramente.

Mas, o que é um grupo? 

Iremos responder essa pergunta mais adiante:

Um grupo é um conjunto com a operação binária possuindo as seguintes propriedades:

1. A operação é fechada, ou seja, se então ;
2. A operação é associativa, ou seja, se então ;
3. Existe o elemento identidade , ou seja, para todo , temos ;
4. Todo elemento tem inverso, ou seja, se então existe tal que .

Essas propriedades acima definem grupo.

Exemplos de Grupos:

     O conjunto dos inteiros com a operação de adição;
     Os conjuntos dos racionais , reais e complexos com adição são grupos também;
    O conjunto dos naturais com adição não é grupo, pois apesar de ter indentidade , nenhum dos seus elementos positivos tem inverso.

Os grupos acima são infinitos e comutativos, ou seja  dados e no grupo temos que .
Em geral os grupos não são comutativos.

Notação: , definimos também , e .

Proposição 1: O elemento identidade é único.
 Demonstração: De fato, se fosse outro elemento identidade teríamos que

Mas também


Logo,


Portanto, o elemento identidade é único


Proposição 2:  O elemento inverso é único.
 Demonstração: Semelhantemente à demonstração anterior, se fosse outro inverso de , então .
Porém, , portanto,


Assim, cada elemento do grupo possui um único inverso.

Observação 1: De acordo com a proposição acima, em um grupo , a equação possui uma única solução: .
Observação 2: De um modo mais abrangente, dados quaisquer , existe uma única solução para a equação , obviamente,