sexta-feira, 2 de setembro de 2011

Um Problema de Geometria Analítica

Olá caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o blog ficou um tempo sem ser atualizado, isso se deve à corrreria no meio acadêmico em que vivo. Como uma postagem de volta trago à vocês mais uma questão enviada por um leitor do blog (Vocês estão me surpreendendo cada vez mais!), A questão, juntamente com a solução, foi enviada pelo leitor Alexandre Lima, quando vi a mesma fiquei muito entusiasmado, pois essa questão se mostra bastante perspicaz, assim segue a mesma abaixo:

Construção do Problema:
No primeiro quadrante, ligue com uma reta todos os pontos, inteiros, do eixo das ordenadas [;(0,y);] com o eixo das abcissas [;(x,0);], tais que a soma [;x+y;] seja constante. Seja [;k;] o valor da soma [;x+y;].
Figura gerada para k =11


Desafio: Calcular a área dessa região em função de [;k;].

Explicação: Suponha que o valor da constante seja igual a [;6;], assim, os pontos do primeiro quadrante da forma [;(x,0);] e [;(0,y);] que devem se ligados são aqueles tais que [;x+y=6;].
Portanto, existem [;5;] pares de números inteiros tais que a soma seja [;6;]. Assim, ligamos os seguintes pontos:
[;(0,5);] com o ponto [;(1,0);]
[;(0,4);] com o ponto [;(2,0);]
[;(0,3);] com o ponto [;(3,0);]
[;(0,2);] com o ponto [;(4,0);] 
[;(0,1);] com  o ponto [;(5,0);] 
O problema consiste em calcular a área dessa região.

Solução encontrada pelo Leitor: