FELIZ NATAL À TODOS!

Um Feliz Natal à todos os leitores do blog Giga Matemática, que vocês realizem seus sonhos e que o próximo ano seja de bastante alegria e prosperidade à todos!!!

$$\oint\exists\ell\mathbb{I}\mathbb{Z}\quad\mathbb{N}\forall\top\alpha\angle\ !$$

Questão: Aplicação do Valor Intermediário

A questão que será apresentada aqui aborda mais uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário (para saber mais clique nessa postagem:As Consequências do Teorema do Valor Intermediário ), a questão foi enviada pelo leitor Arlyson A. Nascimento, ele é professor do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas. Obrigado pela confiança no blog!

A questão pertence ao exame de admissão no programa de pós-graduação em matemática aplicada (2011). Vamos ao enunciado:

Sejam $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uma função contínua, $x_1,\ldots,x_n$ pontos distintos de $[a,b]$, e números reais de mesmo sinal $w_1,\ldots,w_n$. Mostre que existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que

$$\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i$$

O Corpo dos Números Complexos - Parte II

Hoje daremos continuidade ao artigo enviado pelo leitor João (Portugal), quem não viu a primeira parte pode clicar aqui e ver!

Segue o artigo enviando pelo João:

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Antes de continuar o meu artigo quero desde já agradecer ao Diego a oportunidade de postar aqui no blog o meu trabalho. Comecemos por dizer algumas propriedades do corpo dos complexos:

Números Autobiográficos + DESAFIO

Hoje apresento uma propriedade interessante de alguns números, como o título já informa, iremos falar dos números autobiográficos.

Definição: Um número autobiográfico é um número $N$ com no máximo 10 dígitos, tal que seu primeiro dígito informa quantos zeros $N$ possui, o segundo dígito informa quantos 1's $N$ possui, e assim sucessivamente.

Por exemplo, o número $3211000$ é um número autobiográfico, pois ele nos informa que ele possui três zeros, dois 1's, um 2, um 3, zero 4, zero 5, zero 6.

É fácil ver que não existem uma quantidade infinita de números autobiográficos, pois eles possuem no máximo 10 dígitos.

Note alguns fatos sobre esses números:

Por que só existem 5 sólidos platônicos?

Essa pergunta pode ser comum para muitos estudantes durante sua vida, pelo menos para mim foi. Quando estudamos Geometria Espacial nos deparamos com esses sólidos bem peculiares descobrimos que só existem apenas cinco deles, mas por quê? É isso que iremos descobrir durante essa postagem, boa leitura!

DESAFIO: Quadriláteros e Paralelogramos (Soluções)

Hoje trago as soluções enviadas para o Giga Matemática através de seus leitores. Não viu o desafio? Então clica aqui!!!

Solução 1

A primeira solução foi enviada pelo leitor Alexandre Fernandes, parceiro do Giga Matemática, conheça o blog dele o Happy Hour Matemático. É uma solução OBJETIVA e RÁPIDA (minhas preferidas).

Ténicas Comuns de Demonstrações Matemáticas

Se necessário clique na imagem para ampliar

Se você conhece mais alguma "técnica" deixe nos comentários!!!

Aprenda mais na Web

Olá pessoal, hoje venho falar de um site na Internet que possui várias vídeos de aulas (não só de matemática, mas de várias áreas do conhecimento) de algumas universidades "around the world", tais como:

• Berkeley, Califórnia, EUA
• Columbia, Nova Iorque, EUA
• Havard, Cambridge Massachusetts, EUA
• Michigan, Ann Arbor, EUA
• MIT, Cambridge, Massachusetts, EUA
• NYU, Nova Iorque, EUA
• Princenton, Nova Iorque, EUA
• Stanford, Califórnia, EUA
• UCLA, Los Angeles, Califórnia, EUA
• UNSW, Sydney, Austrália
• Yale, New Haven, Connecticut, EUA
• TED, Long Beach, Califórnia
• USP, São Paulo, Brasil
• Unicamp, São Paulo, Brasil
• Oxford, Inglaterra

As aulas estão em português, inglês com legendas em português, e (modo hard) aulas com áudio em inglês.

Vale a pena conferir e desfrutar do conhecimento!

Todos os cursos são GRATUITOS e alguns até oferecem um certificado no final (é sério, o certificado é pra valer!).

Ah, claro, o endereço do site é este:

http://veduca.com.br/home/index

Aproveitem!

Em tempo, o IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) possui um acervo de aulas, palestras, colóquios e seminários em vídeo, eu particularmente sou um adepto das aulas dessa instituição, confira também, o endereço é:

http://video.impa.br/

Até mais !

DESAFIO: Quadriláteros e Paralelogramos

Hoje o Giga Matemática inicia um novo tipo de postagem, a POSTAGEM DESAFIO, aqui o leitor será desafiado à provar algum fato interessante relacionado à matemática, o leitor terá o prazo de uma semana para enviar a resposta, ao final da semana a resposta (ou respostas) serão divulgadas aqui com os devidos créditos.

O Desafio de hoje é o seguinte:

O Corpo dos Números Complexos - Parte 1

Hoje o Giga Matemática abre espaço para mais uma publicação do Leitor.

Quem enviou o artigo de hoje foi o leitor João, direto de Portugal.

 João conta que decidiu escrever esse artigo pois acha a Teoria dos Corpos, Anéis e Grupos em Álgebra Abstrata uma teoria muito interessante do nível do raciocínio e das demonstrações.

Primeiramente devemos nos perguntar, o que é um corpo?

Antes de definirmos corpo, iremos definir uma ideia mais básica, a definição de anel.

Video da postagem "Qual a distância até a linha do horizonte?"

Olá pessoal, a postagem hoje é para divulgar o resultado de uma parceria do Giga Matemática com o blog Matemática Rio. No vídeo é apresentado a postagem Qual a distância da linha do horizonte?. Visualizem abaixo:







Não deixem de visitar o blog matemática rio e visitar o canal matematicario

Até mais !

As consequências do Teorema do Valor Intermediário

Olá, hoje iremos tratar de um resultado bastante simples (essa é minha opinião) em análise real, mas que possui bastantes aplicações, tanto em resolução de problemas de matemática quanto na prática.

Esse resultado é o Teorema do Valor Intermediário, iremos enunciá-lo logo abaixo:

Teorema ( Teorema do Valor Intermediário): Seja $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua. Se $f(a)<d<f(b)$ então existe $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=d$.

Vamos entender os elementos envolvidos nesse teorema:

Qual a "distância" da Linha do Horizonte?

Quando eu era criança fui à praia para um dia de lazer, sempre fui muito curioso e sempre queria ter uma explicação para todas as coisas (talvez isso me motivou escolher a Matemática), dessa vez me deparei com a Linha do Horizonte e me perguntei:

- Qual a distância da beira da praia até a linha do horizonte?

Fiquei bastante intrigado, até perguntei pra algumas pessoas, mas elas não souberam me responder naquele momento, resolvi então deixar para depois, pensei que no futuro talvez soubesse a resposta para essa dúvida. Os anos passaram e no último sábado estava em minha casa navegando na Internet e me deparei com a imagem do início dessa postagem e novamente me veio a pergunta não respondida da minha infância, mas dessa vez sabia que eu mesmo podia chegar ao resultado, e é essa experiência que compartilho hoje com os leitores do Giga Matemática.

Calendário Permanente

Na postagem anterior, falamos de um método utilizado para descobrir o dia da semana em que uma data ocorreu, nos comentários o leitor Renan Santos fez uma observação sobre a praticidade do método (Clique aqui para ver o comentário), e de fato, o método anterior é um pouco demorado e exige um pouco de velocidade nos cálculos mentais, como sugestão o mesmo citou o Calendário Permanente, e é sobre isso que iremos falar agora!

Não se sabe quem inventou o calendário permanente, mas tudo leva a crer que a "culpa" foi de um matemático, esse calendário é uma forma matemática de se descobrir onde caiu um dia da semana em qualquer data entre os anos de 1901 e 2092. Veja o mesmo abaixo:

Fonte: quediaehoje.net

Fonte: quediaehoje.net

 Mas como utilizá-lo? É mais simples que o método anterior, dada uma data basta seguir os seguintes passos:

Passo 1: Encontrar o ano na Tabela A;

Passo 2: Seguindo na mesma linha à direita localizar o número na Tabela B associado ao mês considerado;

Passo 3: Adicionar ao número encontrado no Passo 2, o dia desejado;

Passo 4: Verificar o resultado na Tabela C.

Como Descobrir o Dia da Semana em que Você Nasceu

Parece mágica, mas o que o personagem da tirinha fez é possível e tem uma explicação matemática.
Primeiramente dê uma olhada no calendário de 1986:

Realmente o personagem acertou! Mas como isso é possível?

De fato, existe uma regra  para determinarmos o dia da semana de qualquer data entre 01 de Janeiro de 1900 até 2399. Basta seguir os seguintes passos:

Passo 1: Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você nasceu. Chamaremos esse valor de A.

Passo 2: Calcule quantos 29 de Fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta dividir por 4 o valor de A, sem considerar o resto da divisão. Chamaremos esse valor de B. Caso seja ano bissexto e a data for anterior  ou igual  a 29 de Fevereiro, considere então  B-1.

Passo 3: Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele (que chamaremos de C), que está presente na seguinte tabela:

Passo 4: Considere o dia do nascimento x. Calcule x-1, chamaremos essa quantidade de D.

Passo 5: Some os quatro valores anotados A,B (ou B-1), C e D então divida o resultado por 7 e tome o resto dessa divisão, após isso confira o dia da semana associado à esse resto:

Intuição x Matemática

Muitas vezes antes de tentarmos resolver um problema de matemática temos um "pré-resultado" formado em nossas mentes, ou seja, um resultado que já era esperado, por exemplo, ao efetuar a multiplicação de dois números com dois dígitos temos a "intuição" de que a resposta será possivelmente um número de três ou quatro dígitos (de fato, pois se considerarmos dois números de dois dígitos eles terão a forma $(ab)_{10}$ e $(cd)_{10}$, assim, ao efetuarmos a multiplicação teremos o seguinte resultado: $(10a+b)\cdot (10c+d) = 100a+10(ad+bc)+bd$, o resultado possui ao menos três dígitos) , nesse caso a nossa intuição foi uma ferramenta útil, mas existem casos onde não podemos confiar em nossa intuição, apresentaremos duas situações onde você irá se surpreender com a resposta, veja:

Caso 1: Considere um campo de futebol com 100m de comprimento por 50m de largura, um jogador decide amarrar uma corda inelástica em cada extremidade do comprimento desse campo (para isso ele fixa as pontas da corda em cada uma das traves), de modo que a corda fique totalmente esticada e tocando o gramado (note que a corda possui extamente 100m), após esse procedimento o jogador "aumenta" o comprimento em  apenas 1m e realiza o mesmo procedimento, como a corda ficou frouxa o jogador decide ir até o centro do gramado e levantar a corda até que a mesma fique novamente esticada. Pergunto, quantos centímetros ( ou metros) o jogador conseguirá levantar a corda acima do gramado até que ela fique totalmente esticada?

Se nos deixarmos levar por nossa intuição seremos levados a crer que o jogador conseguirá erguer a corda à alguns centímetros do gramados até que a mesma fique esticada, mas se fizermos os cálculos veremos que o jogador nem sequer conseguirá atingir a tal altura, pois não existem ser humanos com um pouco mais de 7 metros! Isso mesmo, a corda pode ser erguida à uma altura de aproximadamente 7 metros e 9 centímetros, se duvida disso, basta utilizar o teorema de pitágoras como abaixo:

Assim, temos:

$$50,5^2=h^2+50^2$$

$$h=\sqrt{50,5^2-50^2}$$

$$h\approx 7,09 m$$

Esse resultado é totalmente contra intuitivo, pois estávamos esperando um resultado bem menor.