O Corpo dos Números Complexos - Parte 1

Hoje o Giga Matemática abre espaço para mais uma publicação do Leitor.

Quem enviou o artigo de hoje foi o leitor João, direto de Portugal.

 João conta que decidiu escrever esse artigo pois acha a Teoria dos Corpos, Anéis e Grupos em Álgebra Abstrata uma teoria muito interessante do nível do raciocínio e das demonstrações.

Primeiramente devemos nos perguntar, o que é um corpo?

Antes de definirmos corpo, iremos definir uma ideia mais básica, a definição de anel.

Definição 1: Um anel é uma estrutura algébrica $(A,+,*)$ em que $A$ é um conjunto não vazio e $+,*$ são operações binárias em $A$ tais que:

• $(A,+)$ é um grupo Abeliano;
• $(A,*)$ é um semigrupo, isto é, $*$ é associativa;
• A operação $*$ é distributiva em relação a $+$.

Chamamos a operação $+$ de adição ou soma do anel e a operação $*$ chamamos de produto do anel.

Definição 2: Um corpo é uma estrutura algébrica $(A,+,*)$ em que $A$ é um conjunto não vazio e $+,*$ são operações binárias em $A$ tais que:

• $(A,+,*)$ é um anel comutativo, isto é, $(A,*)$ é um semigrupo Abeliano;
• $(A,+,*)$ é um anel com identidade (isto é, existe um elemento neutro para $(A,*)$) no qual todo o elemento não nulo tem inverso, ou seja, todo elemento não nulo do anel é unidade.

Já definido o que é um corpo, vamos agora falar um pouco do corpo dos números complexos, começando por provar que de fato ele é um corpo.

Proposição: $(\mathbb{C},+,*)$ é um corpo.

Demonstração: 

Como já sabemos, $\mathbb{C}$ é um anel. Vamos então verificar que o mesmo é um anel comutativo:

Sejam $x,y,a,b \in \mathbb{R}$, tais que, $z=x+iy$ e $w=a+ib$, em que $z,w\in\mathbb{C}$. Então,

$$z*w=(x+iy)*(a+ib)=xa+xbi+yai-by$$

$$=ax+bxi+ayi-yb=(a+ib)*(x+iy)=w*z$$

A última passagem se justifica pois a multiplicação de números reais é comutativa.

Então fica provado que $\mathbb{C}$ é um anel comutativo.

Sabemos que $(\mathbb{C\backslash \{0\}},*)$ é um grupo, então a segunda hipótese fica automaticamente provada.

João termina seu artigo aqui, mas deixa algumas questões que podem ser enviadas para o e-mail dele (ps_still1@hotmail.com):

1. Por que todo corpo é um domínio de integridade, mas o contrário não se verifica?
2. verifique se $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi;a,b\in\mathbb{Z}\}$ é um domínio de integridade. E um corpo?